Математиката и 12-тичната система

автор Джеймс Д. Уот, 1995:

Имах честта Лий да ми изпрати преди публикуването един ченълинг на Крион, според който вселената използва "12-тична" система. Той ме попита дали има някакви математически доказателства за подобно твърдение.

Този въпрос е чудесен пример за човешкото твърдоглавие. Две години аз се взирах в геометрията на окръжността и се питах: "Защо кръгът се дели естествено на 6 части (шестоъгълник)?" Разполагах с математиката на цялото на "липсващото средно число" и всички съставки, за да кажа: "Аха! Универсалната система трябва да е 12-тична (шест е средното число и 12-тичният еквивалент на нашата 10-тична система е липсващото средно число). Доказателството е много по-убедително от аргументите. Петоъгълникът дава едно удивително съотношение, открито и доказано от Евклид и наречено "златното сечение". То е геометрична константа. Константата е математическа величина, която е неизменна и важи във всякаква ситуация. Златното сечение е характерно за делението на окръжността независимо от аритметичната система, с която се описва, или от частта на вселената, към която прилагате компаса. То описва връзката между страните и ъглите на петоъгълника (петостенен правилен многоъгълник) и се смята за най-съвършената геометрична симетрия,

В своята геометрична функция то действа със съвсем същите свойства като липсващата 8-ица във възходящия ред на 10-тичната система. Нещо повече, фактът, че окръжността се дели естествено на вторично ниво (първичното деление е, че компасът "обхожда кръга" точно 6 пъти) на триъгълници (три страни) и квадрати и т. н. (четиристранни фигури) показва, че кръгът е 12-тично явление.

Във връзка със златното сечение са интересни и някои аритметични особености. Някои са добре известни, а други ще бъдат представени за първи път тук. В момента тече проверка за "предишно познаване" от по-начетените от мен в историята на математиката.

В аритметиката златното сечение се изразява като ^{√  5+1}/₂! Забележете, че тук имаме цяло (1), двоичност (2) и средно цяло число (5)! Това не е случайно, нито е изолирана симетрия. Откриваме, че присъствието на числата 1, 2 и 5 е преобладаващо правило в аритметиката. Една от най-добре изучените симетрии е: "съотношението на всички числа в редицата на Фибоначи е златно сечение". Фибоначи е средновековен математик, който открил, че в простите положения, прилагани към числата, има симетрично нарастване. Можете да научите повече за него от всяка математическа книга в близката библиотека. Класическата история за редицата на Фибоначи е за чифликчията, който купил двойка зайци и взел да пресмята колко ще станат, ако зайкинята ражда всеки месец. Той би могъл да разбере колко зайци ще има всеки един месец (при положение, че зайците живеят вечно)! Друг начин да се изрази "върховното" съотношение в редицата на Фибоначи е: "При всяко число чрез прибавяне на 1 към реципрочното на това число в последователна операция ще се получи златно съотношение." Накратко, колкото и случайно и дълго число да вземете, то по природа е свързано със златното сечение.

Ще напиша няколко математически твърдения за дадени цифри. Знам, че някои читатели ще ги заболи главата и ще зарежат статията. Причината е лошото поднасяне на математиката в училище. Обещавам ви, че можете да вникнете в тези твърдения, защото ще ви преведа през тях и ще видите, че изобщо не са "тъмна Индия", а всеизвестна истина. Малко по-нататък ще включа няколко по-непознати уравнения, предназначени за хората с усет към математиката. Тях също бих могъл да ги обясня, но и не искам да се разпростирам прекалено много.

В математиката приетият символ за златното сечение е Ø. Можем да напишем нашата дефиниция, която да ви напомня за какво става въпрос.

Златното сечение = Ø = ^{√  5 + 1}/₂ = 1.618033989...

Така че когато пиша символа Ø, вие ще знаете как изглежда като число и като цифра от "математиката на цялото" (1, 2 и 5). Аритметичното представяне на Ø се отличава с някои интересни симетрии, които са уникални за златното сечение:

¹/_Ø = Ø - 1          ¹/_1.618033989 = .0618033989

Ø ² = Ø + 1       1.618033989² = 2.618033989

¹/_Ø + 2 = Ø ^{2 ….}0.618033989 + 2 = 2.618033989

Този вид симетрия не се среща никъде другаде в аритметиката или числената теория. Тя има "близък родственик" в отношението на връзката на √2 и √.5, което може да се изрази в математиката на цялото, но прелестната симетрия на Ø е такава, сякаш числото казва: "Аз съм опорната точка, върху която балансира цялата числена теория".

Уместният въпрос тук е: "Има ли някакво аритметично свидетелство в подкрепа на посланията на Крион, че универсалната числена теория се гради върху 12-тична система?" Отговорът е: "Да, има някои много убедителни аритметични свидетелства", и аз ще ви ги покажа сега. Ако разполагате с калкулатор с функция за квадрат и корен квадратен, вземете го и ме следвайте.

Преди да пристъпим към свидетелството на златното сечение, искам да ви запозная с някои по-общи страни на онова, което се случва в десетичната система по отношение на 12-тичната.

Вземете вашия калкулатор и наберете някое число (не твърде голямо, за да не излезете от екрана и избягвайте "идеалните квадрати", тоест √9 = 3 или и √25 = 5). Подходящи примери са 6, 7, 2, 53 и др. След това намерете корен квадратен на вашето число и добавете към него 5. Сега натиснете бутона за "квадрат" и вижте какво става! Ирационалните части на двете числа са еднакви! Това продължава в "безкрайност". Важи за всички числа.

За онези, които нямат калкулатор под ръка, ще дам няколко примера:

• Изберете някое произволно число. Ние взимаме 43.
• Намерете корен квадратен: √43 = 6.557438524...
• Добавете към него 5: 6.557438524 + 5 = 11.557438524...
• Подигнете го на квадрат: 11.557438524² =133.57438524

Виждате ли, че "ирационалната част", която е в болд, на двете числа е еднаква? Какво става тук? Това е универсална алгебрична идентичност, която показва механизма. А именно:

2 х (√n + х) - (√n + х)² = х² - п

Където n = всяко число и х = всяко число. (В нашия случай използваме х = 5.)

За да се убедите, просто изберете някаква стойност запи някаква стойност за х, после ги преведете през операцията и не забравяйте първо да съберете цифрите вътре в скобите. Ако х = 5, то 2х = 10. 2х действа като "десетичен определител" за уравнението, така че автоматично "превръща ирационалните части от двете числа (√n + х) и (√n + х)² в същата редица. Когато извадим едното от другото, ги "изтриваме" и остава само с х² - n.

Стават някои интересни неща по отношение на ирационалните числа, но по-важно за 12-тичната система е сборът на уравнението х² - п. За 10-тичната система (където х = 5), х² = 25. Можем да използваме това х² - n, за да видим какви различни редици числа ще се получат в полето на "възможностите", х² - n е разликата между двете числа 2х (√n + х) - (√n + х) . Ето как изглежда:

х² - n (където х = 5)

*25 - 0 = 25             25 - 9 = 16         25 - 18 = 7
25 - 1 = 24                25 - 10 = 15       25 - 19 = 6
25 - 2 = 23                25 - 11 = 14        25 - 20 = 5
25 - 3 = 22                25 - 12 = 13        25 - 21 = 4
25 - 4 = 21                25 - 13 = 12        25 - 22 = 3
25 - 5 = 20               25 - 14 = 11        25 - 23 = 2
25 - 6 = 19               25 - 15 = 10       25 - 24 = 1
25 - 7 = 18               25 - 16 = 9         * 25 - 25 = 0
25 - 8 = 17               25 - 17 = 8

* 0 (нула) не е число, така че можем да видим, че положителните възможности за n са числата от 1 до 24, което е цикъл от 12! Тъй като х = 5 и "конвертира дробната част от двете числа (√n + х) и (√n + х)² " и го прави в десетичен формат, виждаме, че десетичният формат действа в параметрите на положителните възможности за 12. Това не е съвпадение! Освен това виждате, че 12 и 13 са "разменените" стойности в прогресията (подчертани са).

Това подсилва функцията на 10 като "липсващото средно число във възходящия ред" в 12-тичната система. Накратко, получава се точно каквото би станало, ако имаше единна математическа система. Изходът е съвсем предсказуем.

Докато си играех с горното заключение, ми хрумна да проверя какво ще стане, когато въведа златното сечение в тази ситуация. Ако идеята за математиката на цялото и универсалната 12-тична система е вярна, щеше да се получи висша симетрия. Би трябвало да бъде така. (* Самото Ø следва това елементарно алгебрично тъждество: (√1.25 + .5) = Ø. Забележете отново, че 1, 2 и 5 пораждат Ø)

Тъй като търсех симетрия с числото 12, трябваше да проверя с други числа, за да се уверя, че не съм попаднал на някакъв общ принцип, който важи за всички числа. Трябваше да важи единствено за 12. Търсенето на връзки установи следното:

12 - (√5 + Ø ) = 8.145898034...

11 - (√5 + Ø) = 7.145898034...

10- (√5 + Ø) = 6.145898034... и т. н.

Както виждате, всяко число е с едно по-малко предходното и всичките завършват на .145898034... Проверката на квадратните корени на числата не разкри нищо особено или общо между тях, освен за 12. Накратко, .145898034... няма значение за никое друго цяло число, освен за 12, където симетрията е удивителна! (* 145898034... - (1 - ¹/_Ø)²)

Ето четири от връзките:

•  (√5 + Ø)-[ √12- (√5 + Ø)] = 1

•  Ø[√12- (√5 + Ø) - √5 = 1

•  ¹/_Ø + √5 = [√12- (√5 + Ø)

•   (√5 + Ø) ² -12 = √12- (√5 + Ø)

или  (√5 + Ø) ² - √12- (√5 + Ø) =  12

А също така:

•   12  -  (√5 + Ø) = 8 + (1 - ¹/_Ø ) ² 

•   (√5 + Ø) ² -  (√5 + Ø) = 11

•   ^Ø/_{√ 5} – (^Ø/_{√ 5}) ² = .2

Като се замислим, в 10-тичната система 9 е последното цяло число преди повторението на редицата и няма начин да не е в симетриите на 10-тичната система. Същото би трябвало да важи за 11 в 12-тичната система, както видяхме на предишната страница.